Intersection et réunion d'intervalles

Définition

On considère \(I\;\text{et}\;J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\).
L'intersection des intervalles \(I\;\text{et}\;J\), notée \(I\cap J\), est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent à la fois dans les intervalles \(I\) et \(J\).

Exemples

• Soit \(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).

​​​​​​L'intervalle \(I\) est représenté en bleu et l'intervalle \(J\) en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée des deux couleurs en même temps représente l'intersection des intervalles \(I\) et \(J\).
On a ainsi \(I\cap J=[2;3]\).

•  \(]-\infty;1]\cap [-3;8]=[-3;1]\)
  
• \([-2;3[\cap ]4;15]=\emptyset\) . L'intersection des deux intervalles est vide. Il n'y a aucun nombre réel qui se trouve à la fois dans l'intervalle \([-2;3[\) et dans l'intervalle \(]4;15]\). On dit que les intervalles sont disjoints.
  
• \(]-\infty;3]\cap [3;+\infty[=\{3\}\). L'intersection des deux intervalles est réduite à un point.

Définition

On considère \(I\;\text{et}\;J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\).
La réunion des intervalles \(I\;\text{et}\;J\), notée \(I\cup J\), est l'ensemble des nombres réels qui se trouvent dans l'un au moins des intervalles \(I\;\text{et}\;J\).

Exemples

• Soit \(I=[-1;3]\) et \(J=[2;4]\).
  

​​​​​​L'intervalle \(I\) est représenté en bleu et l'intervalle \(J\) en rouge. La partie de la droite graduée qui est coloriée d'au moins une couleur représente la réunion des intervalles \(I\) et \(J\).
On a alors \(I\cup J=[-1;4]\).

• \(]-\infty;1]\cup [-3;8]=]-\infty;8]\)
  

• \(]-\infty;3]\cup [3;+\infty[=\mathbb{R}\)
  
• \([-2;3[\cup ]4;15]\). Cette réunion ne peut pas s'écrire sous la forme d'un seul intervalle puisque les deux intervalles sont disjoints (leur intersection est vide).